The Hartree term and the exchange term

무슨 마가린 이름처럼, "I can't believe he is still confused about those things!! 'o' " 정도로 제목을 붙일 수 있는 블로그가 되어가는 것 같다. 어제는 전자-전자간 상호작용의 기본인 하트리와 익스체인지 항에 대해서 헷갈렸다.

그냥 two-body 해밀토니안의 기대값을 구한다고 해보자. 이 때 익스체인지 항이 있다고 해서 그 기대값이 number 연산자만의 기대값의 곱으로 써지지 않는다는 건 아니다. 헷갈렸던 것의 핵심은 V에서 딱 하나의 k1, k2, q값만 생각하면서, 그 V_{k1, k2, q}의 기대값에 하트리 항가 익스체인지 항이 다 있을거라고 생각했던 점이었다. 그러다 보니 서로 다른 k1, k2에 대해 k1에서 만들고 k2에서 없애는 것의 기대값이 있어야만 익스체인지 항이 있을거라고 착각했다.

사실은 하트리 항과 익스체인지 항은 서로 다른 q에 대해서 나오는 것으로, q=0일 때가 하트리 항, q=k2-k1일 때가 익스체인지 항에 해당한다. 어쨌든 두 경우 모두 기대값은 n_k1과 n_k2의 곱으로 써진다, 고전적인 경우처럼. 다만 그 에너지 값이 달라질 뿐이다.

물리적으로 좀 이야기를 해 보자면, 고전적으로는 전자가 여기 있으면 여기 있는거고 저기 있으면 저기 있는거니까 전자가 상호작용하는 세기는 하나가 어딨고 다른 하나가 어디있는 지에 따라 결정된다; 즉, 전자의 위치를 나타내는 변수 두개로 써진다. 그런데 양자역학으로 가면 그 하나라고 했던 게 사실은 두개니까 - 브라와 켓 - 전자의 상호작용은 변수 네 개로 써지고 - 전자 각각의 브라와 켓이 따로 놀 수 있으니까 - 여기 있는 브라와 켓, 저기 있는 브라와 켓이 각각 곱해질 수 있지만 여기 있는 브라와 저기 있는 켓, 저기 있는 브라와 여기 있는 켓이 곱해지는 새로운 가능성이 생기는 거다. 이게 기본적으로 양자역학적인 익스체인지 상호작용인거고.

1차원 계에서는, 약간의 부가조건만 만족하면 신기하게도 상호작용 V가 기대값뿐만 아니라 연산자 수준에서 density operator로만 쓴 모양과 동일하다. 그래서 그 density operator를 보존 연산자 하나로 쓰면 원래 페르미온 연산자 네 개로 써지던 상호작용을 보존 연산자 두개로 써서 완전히 해밀토니안을 풀 수 있는데, 이게 바로 Bosonization이다.