젊은 대학원생의 초상

무슨 마가린 이름처럼, "I can't believe he is still confused about those things!! 'o' " 정도로 제목을 붙일 수 있는 블로그가 되어가는 것 같다. 어제는 전자-전자간 상호작용의 기본인 하트리와 익스체인지 항에 대해서 헷갈렸다.

그냥 two-body 해밀토니안의 기대값을 구한다고 해보자. 이 때 익스체인지 항이 있다고 해서 그 기대값이 number 연산자만의 기대값의 곱으로 써지지 않는다는 건 아니다. 헷갈렸던 것의 핵심은 V에서 딱 하나의 k1, k2, q값만 생각하면서, 그 V_{k1, k2, q}의 기대값에 하트리 항가 익스체인지 항이 다 있을거라고 생각했던 점이었다. 그러다 보니 서로 다른 k1, k2에 대해 k1에서 만들고 k2에서 없애는 것의 기대값이 있어야만 익스체인지 항이 있을거라고 착각했다.

사실은 하트리 항과 익스체인지 항은 서로 다른 q에 대해서 나오는 것으로, q=0일 때가 하트리 항, q=k2-k1일 때가 익스체인지 항에 해당한다. 어쨌든 두 경우 모두 기대값은 n_k1과 n_k2의 곱으로 써진다, 고전적인 경우처럼. 다만 그 에너지 값이 달라질 뿐이다.

물리적으로 좀 이야기를 해 보자면, 고전적으로는 전자가 여기 있으면 여기 있는거고 저기 있으면 저기 있는거니까 전자가 상호작용하는 세기는 하나가 어딨고 다른 하나가 어디있는 지에 따라 결정된다; 즉, 전자의 위치를 나타내는 변수 두개로 써진다. 그런데 양자역학으로 가면 그 하나라고 했던 게 사실은 두개니까 - 브라와 켓 - 전자의 상호작용은 변수 네 개로 써지고 - 전자 각각의 브라와 켓이 따로 놀 수 있으니까 - 여기 있는 브라와 켓, 저기 있는 브라와 켓이 각각 곱해질 수 있지만 여기 있는 브라와 저기 있는 켓, 저기 있는 브라와 여기 있는 켓이 곱해지는 새로운 가능성이 생기는 거다. 이게 기본적으로 양자역학적인 익스체인지 상호작용인거고.

1차원 계에서는, 약간의 부가조건만 만족하면 신기하게도 상호작용 V가 기대값뿐만 아니라 연산자 수준에서 density operator로만 쓴 모양과 동일하다. 그래서 그 density operator를 보존 연산자 하나로 쓰면 원래 페르미온 연산자 네 개로 써지던 상호작용을 보존 연산자 두개로 써서 완전히 해밀토니안을 풀 수 있는데, 이게 바로 Bosonization이다.

고전적인 계를 양자화할 때 자유도가 어떻게 변하는지에 대해 헷갈렸다. 원래 연속적인 값을 가지던 것이 불연속적인 값을 가지게 되었으니 자유도가 줄어들 거라고 오해했다. 사실은 중첩 현상때문에 양자화를 하면 시스템의 자유도가 크게 증가한다.

이 문제는 단진자를 양자화하는 경우만 잘 생각해봤어도 명백한 거였는데 쓸데없이 오래 고민했다. 고전적인 경우에는 계를 2개의 실수만 가지고 표현할 수 있지만 양자화를 하고 나면 계를 표현하기 위해서 무한대 개의 복소수가 필요하다.

장이론으로 간다면, 고전적인 장 이론이 아이겐모드 개수만큼의 변수로 표현이 된다면 그걸 양자화시키면 아이겐모드의 개수와 0보다 크거나 같은 정수의 개수의 곱만큼의 변수가 필요하다. 고전적인 장 이론의 자유도와 단진자를 양자화한 경우의 자유도를 비교하는 실수를 한 것이 헷갈렸던 이유였다.

이런 것을 '양자역학에서는 고전적으로는 불가능한 fluctuation이 가능하다.' 라고 이야기할 수 있을 것 같다.