그림을 누르면 커집니다!
이 그림은 '호프슈태터의 나비'라 불리우는 그림이다. 2차원 격자구조에 자기장을 걸었을 때전자의 에너지 레벨을 계산해보면 이런 결과를 얻을 수 있다. 즉, 가로축은 자기장이고 세로축은 에너지이다. 단순히 에너지 레벨을 계산했을 뿐인데 프랙탈적인 구조가 나타나는 것이 신기하다.
만약 격자구조가 없다면, 그래서 전자들이 2차원에서 자유로이 뛰어노는 경우라면 자기장을 걸었을 때 에너지가 양자화된다. 그리고 자기장을 키우면 단지 양자화된 에너지의 간격이 벌어지기만 한다. 그런데 격자에 대해서 계산을 해보면 이런 놀라운 결과가 나온다.
이 계산은 1976년에 더글라스 호프슈태터가 처음으로 했다. "괴델, 에셔, 바흐"를 쓴 바로 그 사람이다. 그래서인지 그 책에도 이 그림이 나왔었다.
랩 형이랑 이야기를 하다가 한번 그려보면 재미있겠다 싶어서 같이 해봤는데 생각보다 아주 간단했다. 그냥 아주 작은 2차원 격자를 두고 Tight-binding approach에 전체 해밀토니안을 만들어서 아이겐밸류만 구했을 뿐인데 이런 그림이 나왔다. 어때요, 참 쉽죠?
저 그림은 9*9 2D square lattice 에서 계산한 것이다. 요즘은 컴퓨터가 좋아져서 하찮은 PC조차 81*81 행렬의 대각화를 거뜬히 해내는 것이 놀라웠다.
